๋ณธ๋ฌธ ๋ฐ”๋กœ๊ฐ€๊ธฐ

์„ ํ˜•๋Œ€์ˆ˜

์„ ํ˜•๋Œ€์ˆ˜] ์ค‘๊ฐ„๊ณ ์‚ฌ ์ •๋ฆฌ

์ผ์ฐจ๋ฐฉ์ •์‹์˜ ํ•ด

1) consistent ์œ ์ผํ•ด

2) consistent(indeterminate) ๋ถ€์ •(์—ฌ๋Ÿฌ ๊ฐœ์˜ ํ•ด): ์ž์œ ๋ณ€์ˆ˜๊ฐ€ ์กด์žฌํ•˜๋Š” ํ•ด ์ง‘ํ•ฉ์„ ๊ฐ€์ง€๋Š” ๊ฒฝ์šฐ

-1. ๋ณ€์ˆ˜์˜ ๊ฐœ์ˆ˜ < ์ˆ˜์‹์˜ ๊ฐœ์ˆ˜ or ๋ณ€์ˆ˜์˜ ๊ฐœ์ˆ˜=์ˆ˜์‹์˜ ๊ฐœ์ˆ˜ ํ•œ ์ˆ˜์‹์ด ์ „๋ถ€ 0

-2. RREF์—์„œ ํ”ผ๋ฒ—์˜ ์œ„์น˜๊ฐ€ ๋งŽ์ด ๋ฐ€๋ฆฌ๋Š” ๊ฒฝํ–ฅ์„ ๋ณด์ž„

3) inconsistent ๋ถˆ๋Šฅ: ๊ณ„์ˆ˜๋ฒกํ„ฐ๊ฐ€ ๋‹ค 0์ด๊ณ  ์ƒ์ˆ˜ ๋ฒกํ„ฐ๊ฐ€ 0์ด ์•„๋‹Œ ํ–‰์ด ์กด์žฌ

 

์ผ์ฐจ๋ฐฉ์ •์‹ ๋™์น˜: 1) ํ•ด ์ง‘ํ•ฉ 2) ์ˆ˜์‹์˜ ๊ฐœ์ˆ˜ 3) ๋ณ€์ˆ˜์˜ ๊ฐœ์ˆ˜๊ฐ€ ๋™์ผํ•ด์•ผ ํ•จ

๋™์น˜๋ฅผ ์œ ์ง€ํ•˜๋Š” ์—ฐ์‚ฐ 1) ํ–‰ ๊ตํ™˜(Interchange) 2) ๋ฐฉ์ •์‹์˜ ์Šค์นผ๋ผ๊ณฑ(Scaling) 3)Row addition

๊ธฐ์•ฝํ–‰ ์‚ฌ๋‹ค๋ฆฌ๊ผด ํ–‰๋ ฌ(RREF(Reduced row echelon form)):output์„ ์ •ํ˜•ํ™”์‹œ์ผœ์„œ ์ •์˜ํ•˜๋Š” ๋ฐฉ๋ฒ•

1) ๋ชจ๋“  ์›์†Œ๊ฐ€ 0์ธ ํ–‰๋“ค์€ 0์ด ์•„๋‹Œ ํ–‰๋“ค์˜ ์•„๋ž˜์— ์žˆ์–ด์•ผ ํ•œ๋‹ค.

2) ํ–‰์˜ ๊ฐ leading entry๋Š” ๊ทธ ์œ„์˜ ํ–‰์˜ ์„ ํ–‰ entry์˜ ์˜ค๋ฅธ์ชฝ ์˜†์— ์žˆ๋‹ค. //REF ์กฐ๊ฑด(0์ด ์•„๋‹Œ ์ˆ˜๊ฐ€ 1์ผ ํ•„์š”X)

3) ๊ฐ๊ฐ์˜ ํ–‰์—์„œ 0์ด ์•„๋‹Œ ์ฒ˜์Œ ๋‚˜์˜ค๋Š” ์ˆซ์ž๋Š” 1์ด๋‹ค

4) ๊ฐ leading 1์€ ๊ทธ ์—ด์˜ ๋‹จ ํ•˜๋‚˜๋ฟ์ธ 0์ด ์•„๋‹Œ ์ˆซ์ž์—ฌ์•ผ ํ•œ๋‹ค.

ํ”ผ๋ฒ—(pivot):RREF์—์„œ ๊ฐ ํ–‰์˜ 0์ด ์•„๋‹Œ ์ฒ˜์Œ ๋‚˜์˜ค๋Š” ์›์†Œ๋กœ ํ–‰ ์—ฐ์‚ฐ์„ ํ•ด๋„ ํ”ผ๋ฒ— ์œ„์น˜๋‚˜ ์—ด์˜ ์œ„์น˜๋Š” ๋ณ€ํ•˜์ง€ ์•Š๋Š”๋‹ค.

๊ฐ€์šฐ์Šค ์กฐ๋‹จ ์†Œ๊ฑฐ๋ฒ•: ์—ฐ๋ฆฝ๋ฐฉ์ •์‹์„ ํ–‰๋ ฌ๋กœ ํ‘œํ˜„ํ•˜๊ณ  ํ–‰์—ฐ์‚ฐ์„ ํ†ตํ•ด์„œ RREF๋ฅผ ๋งŒ๋“œ๋Š” ์ผ๋ จ์˜ ๊ณผ์ •

- REF๋Š” ์—ฌ๋Ÿฌ๊ฐœ ์กด์žฌํ•˜์ง€๋งŒ RREF๋Š” RREF์˜ 3,4๋ฒˆ์งธ ์กฐ๊ฑด์— ์˜ํ•ด์„œ ๋‹จ ํ•˜๋‚˜๋งŒ ์กด์žฌํ•œ๋‹ค.

- ๋ณ€์ˆ˜๋ณด๋‹ค ์ˆ˜์‹์˜ ๊ฐœ์ˆ˜๊ฐ€ ์ ์€ ๊ฒฝ์šฐ์— ์œ ์ผํ•ด๋Š” ์ ˆ๋Œ€ ๋‚˜์˜ฌ ์ˆ˜ ์—†๋‹ค(๋ถ€์ •, ๋ถˆ๋Šฅ ์ค‘ ํ•˜๋‚˜)

RREF๋ฅผ ๋งŒ๋“ค๋ฉด ๋‚˜์˜ฌ ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” pivot์€ ์ตœ๋Œ€ ์ˆ˜์‹์˜ ๊ฐœ์ˆ˜์ด๋‹ˆ๊นŒ ์ž์œ ๋ณ€์ˆ˜๊ฐ€ ์ ์–ด๋„ ํ•˜๋‚˜๋Š” ์กด์žฌ.

 

ํ–‰๋ ฌ(Matrix) - ๋ง์…ˆ, ๋Œ€์ž… ์—ฐ์‚ฐ์„ ํ†ตํ•ด์„œ ๊ณ ์ •๋œ ์ˆซ์ž์˜ ํ–‰๊ณผ ์—ด์ด ๋ฐ”๋€” ์ˆ˜ ์—†๋‹ค.

์ •์‚ฌ๊ฐํ–‰๋ ฌ - ์ˆ˜์‹=๋ณ€์ˆ˜์˜ ๊ฐœ์ˆ˜->์œ ์ผํ•ด๋ฅผ ๊ฐ€์งˆ ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ๊ฒฝ์šฐ(๋ฌด์กฐ๊ฑด X, ๊ฐ€๋Šฅ์„ฑ O) -์ฃผ๋Œ€๊ฐ์„ฑ๋ถ„ ์กด์žฌ

> ํ•ญ๋“ฑํ–‰๋ ฌ(Unit matrix): ์–ด๋–ค ์ˆซ์ž๋‚˜ ๋ฒกํ„ฐ๋ฅผ ๊ณฑํ•ด๋„ ๊ฐ™์€ ์ˆซ์ž, ๋ฒกํ„ฐ๊ฐ€ ๋‚˜์˜ด - ๊ณ„์ˆ˜ํ–‰๋ ฌ์ด ํ•ญ๋“ฑํ–‰๋ ฌ->์œ ์ผํ•ด ๊ฐ€์ง

ํ–‰๋ ฌ์˜ ๋™์น˜: 1) ๊ฐ๊ฐ์˜ ์œ„์น˜์— ์žˆ๋Š” ์›์†Œ๊ฐ€ ๊ฐ™๋‹ค. 2) ํ–‰๋ ฌ์˜ ์‚ฌ์ด์ฆˆ๊ฐ€ ๊ฐ™๋‹ค. (A=B=>B=A, A=B B=C=>A=C)

ํ–‰๋ ฌ์˜ ์—ฐ์‚ฐ ๋ง์…ˆ: ๊ฐ™์€ ์‚ฌ์ด์ฆˆ๋งŒ ๋ง์…ˆ ๊ฐ€๋Šฅ. ๊ตํ™˜๊ฒฐํ•ฉ๋ฒ•์น™์ด ํ•ญ์ƒ ์„ฑ๋ฆฝํ•˜๊ณ  ํ•ญ๋“ฑ์›(O)๊ณผ ์—ญ์›(-A)์ด ํ•ญ์ƒ ์กด์žฌํ•œ๋‹ค.

์Šค์นผ๋ผ ๊ณฑ์…ˆ: ์–ด๋–ค ํ–‰๋ ฌ์ด๋“  ๊ฐ€๋Šฅํ•˜๊ณ  ๋ถ„๋ฐฐ๋ฒ•์น™๊ณผ ๋‘ํ–‰๋ ฌ์˜ ์Šค์นผ๋ผ ๊ณฑ์— ๋Œ€ํ•œ ๊ฒฐํ•ฉ๋ฒ•์น™์ด ์„ฑ๋ฆฝํ•œ๋‹ค.

ํ–‰๋ ฌ ๊ณฑ์…ˆ: Aํ–‰๊ณผ B์—ด์„ dot product์‹œํ‚จ๋‹ค. (๋„ˆ๊ฐ€ ์ง์ ‘ cij=ai1b1j+.. ์ ์–ด<-์ฆ๋ช…ํ•  ๋•Œ ์จ)

IA=AI=A, ๊ฒฐํ•ฉ๋ฒ•์น™(!), ๋ถ„๋ฐฐ๋ฒ•์น™์ด ์„ฑ๋ฆฝํ•˜์ง€๋งŒ, AB=BA์™€ AB=O=>A๋‚˜ B๊ฐ€ O, AB=BC=>B=C๋ฅผ ๋งŒ์กฑํ•˜์ง€๋Š” ์•Š๋Š”๋‹ค.

ํ–‰๋ ฌ์˜ ๊ฒฐํ•ฉ์— ๋”ฐ๋ผ์„œ ์ˆ˜ํ–‰๋˜๋Š” ์—ฐ์‚ฐ ์ˆ˜๋Š” ๋‹ค๋ฅด๋‹ค. ํ–‰,์—ด์˜ ์ˆ˜๊ฐ€ ์ฃผ์–ด์กŒ์„ ๋•Œ ์ตœ์†Œ ๊ณฑ์…ˆ ์—ฐ์‚ฐ ์ˆ˜๋ฅผ ๊ตฌํ•˜๋Š” ์•Œ๊ณ ๋ฆฌ์ฆ˜

(M[i,j]=0 ใ…ก๋ผ๋„ˆ๋ผ~~~~~)

์ง€์ˆ˜ ์Šน: ์ •์‚ฌ๊ฐ ํ–‰๋ ฌ๋งŒ ์—ฐ์‚ฐ ๊ฐ€๋Šฅ. Aโฐ=I์ด๊ณ  ์ผ๋ฐ˜์ ์ธ ์ง€์ˆ˜์˜ ๊ณฑ,ํ•ฉ์ด ์„ฑ๋ฆฝํ•œ๋‹ค.

 

์—ญํ–‰๋ ฌ: 1) ์ „๋‹จ์‚ฌ์ผ ๊ฒฝ์šฐ(์ผ๋Œ€์ผ ๋งคํ•‘) 2) ๋™์ผํ•œ ์ฐจ์›(์ •์‚ฌ๊ฐ ํ–‰๋ ฌ + ๋ชจ๋“  ์ •์‚ฌ๊ฐํ–‰๋ ฌ์ด ์—ญํ–‰๋ ฌ์„ ๊ฐ€์ง€๋Š” ๊ฒƒ์€ X)

AB=BA=Iโ‚™ B=Aโปโฑ Aโปโฑ=B โ€“์—ญํ–‰๋ ฌ์€ ์œ ์ผํ•˜๋‹ค proof) B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C ๋ชจ์ˆœ๋ฐœ์ƒ=> ์—ญํ–‰๋ ฌ ์œ ์ผ

(Aโปโฑ)โปโฑ=A, (AB)โปโฑ=BโปโฑAโปโฑ(์ˆœ์„œ ์ฃผ์˜!), (kA)โปโฑ=1/kAโปโฑ, (Aโปโฑ)โฟ=(Aโฟ)โปโฑ(n์€ ์ •์ˆ˜, ์ฆ๋ช… ๊ท€๋‚ฉ๋ฒ•) <-ํ–‰๋ ฌ ์‚ฌ์ด์ฆˆ์™€ ๊ด€๊ณ„์—†์ด ๋งŒ์กฑ.

์ „์น˜ํ–‰๋ ฌ: ์•„๋ฌด ํ–‰๋ ฌ ์ „์น˜ ๊ฐ€๋Šฅ i,j->j,i i,i๋™์ผํ•œ ์œ„์น˜ (AB)โบ=BโบAโบ(์ˆœ์„œ์ฃผ์˜!),(kA)โบ=kAโบ,(Aโบ)โปโฑ=(Aโปโฑ)โบ(p)I=Iโบ=(AAโปโฑ)โบ...)

>ใ€€๋Œ€์นญํ–‰๋ ฌ:๋ฌด์กฐ๊ฑด ์ •์‚ฌ๊ฐ ํ–‰๋ ฌ์ด๊ณ  ์ฃผ๋Œ€๊ฐ ์„ฑ๋ถ„์„ ๊ธฐ์ค€์œผ๋กœ ๋Œ€์นญ(A=Aโบ) e.g. A+Aโบ

> ๋Œ€๊ฐํ–‰๋ ฌ: aij=0 for all i!=j A=diag(a11,a22,...ann)์œผ๋กœ ์ฃผ๋Œ€๊ฐ์„ฑ๋ถ„๋งŒ ํ‘œ์‹œํ•œ๋‹ค.

AB=diag(a11*b11,a22*b22,...,ann*bnn) DA=Aํ–‰์— D์— ํ•ด๋‹นํ•˜๋Š” ํ–‰์˜ ์ฃผ๋Œ€๊ฐ์„ฑ๋ถ„ ๊ณฑํ•œ ํ–‰๋ ฌ,AD=์—ด์— ๊ณฑํ•จ

> ๋ฐ˜๋Œ€์นญํ–‰๋ ฌ: ๋ฌด์กฐ๊ฑด ์ •์‚ฌ๊ฐ ํ–‰๋ ฌ์ด๊ณ  ์ฃผ๋Œ€๊ฐ ์„ฑ๋ถ„์€ ๋ฌด์กฐ๊ฑด 0 (A=-Aโบ) e.g. A-Aโบ

A=1/2(A+Aโบ)+1/2(A-Aโบ) ์ •์‚ฌ๊ฐ ํ–‰๋ ฌ์„ ๋Œ€์นญ๊ณผ ๋ฐ˜๋Œ€์นญํ–‰๋ ฌ๋กœ ํ‘œํ˜„ํ•˜๊ธฐ

๋Œ€๊ฐํ•ฉ: ์ •๋ฐฉํ–‰๋ ฌ๋“ค์˜ ํ•ฉ tr(A+B)=tr(A)+tr(B), tr(cA)=c*tr(A), tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)!=tr(ACB)

nXmํ–‰๋ ฌ A์™€ mXnํ–‰๋ ฌ B(์ •๋ฐฉํ–‰๋ ฌ์ผ ํ•„์š”X)์— ๋Œ€ํ•˜์—ฌ tr(AB)=tr(BA)

์‚ผ๊ฐํ–‰๋ ฌ e.g. ์˜ํ–‰๋ ฌ, ๋‹จ์œ„ํ–‰๋ ฌ ์ƒ์‚ผ๊ฐํ–‰๋ ฌ(์œ„์— ๊ฐ’ ์กด์žฌ) aij=0 i>j ํ•˜์‚ผ๊ฐํ–‰๋ ฌ(์•„๋ž˜์— ๊ฐ’ ์กด์žฌ) aij=0 i<j

(์ƒ/ํ•˜)์‚ผ๊ฐํ–‰๋ ฌ*(์ƒ/ํ•˜)์‚ผ๊ฐํ–‰๋ ฌ=(์ƒ/ํ•˜)์‚ผ๊ฐํ–‰๋ ฌ

๊ธฐ๋ณธํ–‰๋ ฌ: ์ •์‚ฌ๊ฐํ–‰๋ ฌ์„ ํ†ตํ•ด 3๊ฐœ์˜ ํ–‰์—ฐ์‚ฐ์„ ํ‘œํ˜„ํ•ด์ฃผ๋Š” ํ–‰๋ ฌ๋“ค e.g.๋‹จ์œ„ํ–‰๋ ฌ์— ํ–‰์—ฐ์‚ฐ์„ ์‹œํ–‰ํ•ด์ฃผ๊ธฐ

 

A๊ฐ€ ๊ฐ€์—ญํ–‰๋ ฌ์ด๋‹ค(Eโ‚–...Eโ‚‚Eโ‚A=Iโ‚™)<=>RREF(A)=Iโ‚™<=>A๋Š” ๊ธฐ๋ณธํ–‰๋ ฌ๋“ค์˜ ๊ณฑ์ด๋‹ค(A=Eโ‚โปโฑEโ‚‚โปโฑ...Eโ‚–โปโฑ)<=>n๊ฐœ์˜ pivot์„ ๊ฐ–๋Š”๋‹ค<=>Aโบ๋Š” ๊ฐ€์—ญํ–‰๋ ฌ์ด๋‹ค<=>CA=I๋ฅผ ๋งŒ์กฑํ•˜๋Š” n์ฐจ ์ •๋ฐฉํ–‰๋ ฌ C๊ฐ€ ์กด์žฌํ•œ๋‹ค.

์ฒจ๊ฐ€ํ–‰๋ ฌ[A Iโ‚™]์ด ํ–‰์—ฐ์‚ฐ์œผ๋กœ [Iโ‚™ B]๊ฐ€ ๋˜์—ˆ๋‹ค๋ฉด B=Aโปโฑ

๋™์ฐจ์—ฐ๋ฆฝ์ผ์ฐจ๋ฐฉ์ •์‹: ์—ฐ๋ฆฝ์„ ํ˜•์ผ์ฐจ๋ฐฉ์ •์‹์˜ ํŠน์ˆ˜ ์ผ€์ด์Šค Ax=0

์ž๋ช…ํ•ด(x=0): x=0์ด๋ผ๋Š” ํ•ด๋Š” ๋ฌด์กฐ๊ฑด ์ฐธ์ด ๋œ๋‹ค(์—ญํ–‰๋ ฌ์กด์žฌ)

๋น„์ž๋ช…ํ•ด(x!=0): ์—ญํ–‰๋ ฌ์ด ์กด์žฌํ•˜๋ฉด ๋น„์ž๋ช… ํ•ด๋ฅผ ๊ฐ–์ง€ ๋ชปํ•œ๋‹ค.

 

LU๋ถ„ํ•ด: ์•„๋ฌด ํ–‰๋ ฌ(์ผ๋ฐ˜์  ์ •๋ฐฉํ–‰๋ ฌ)๊ฐ€๋Šฅ ,L: ํ•˜์‚ผ๊ฐํ–‰๋ ฌ, U: ์ƒ์‚ผ๊ฐํ–‰๋ ฌ, ์—ฐ๋ฆฝ์„ ํ˜•์ผ์ฐจ๋ฐฉ์ •์‹ Ax=b๋ฅผ Ly=b -> Ux=y๋กœ ๋ถ„ํ•ดํ•ด์„œ ํ•ด๊ฒฐํ•œ๋‹ค. ํ–‰๊ตํ™˜์„ ํ†ตํ•ด RREF๊ฐ€ ๋˜๋Š” ํ–‰๋ ฌ์„ ์ œ์™ธํ•˜๊ณ  ์‚ฌ์šฉ๊ฐ€๋Šฅํ•˜๋‹ค. (A=LU์›์†Œ ์ ๊ธฐ)

ํ–‰๊ตํ™˜ ์—†์ด RREF ๋งŒ๋“œ๋Š” ๋ฒ•: Permutation matrix(PA, ๋‹จ์œ„ํ–‰๋ ฌ์— ํ–‰์„ ๋ฐ”๊พผ ํ–‰๋ ฌ)๋ฅผ ๊ณฑํ•ด์ค€๋‹ค. -> LU๋ถ„ํ•ด ๊ฐ€๋Šฅ

(๋ธ”๋กํ–‰๋ ฌ ์—ญํ–‰๋ ฌ ๊ณต์‹1) (๋ธ”๋กํ–‰๋ ฌ ์—ญํ–‰๋ ฌ ๊ณต์‹2)

 

๋ฒกํ„ฐ: ์ˆ˜๋‚˜ ์‹ฌ๋ณผ๋กœ ํ‘œํ˜„๋œ 1์ฐจ์› ํ–‰๋ ฌ, ๊ตฌ์„ฑ์š”์†Œ๊ฐ€ ๊ฐ™๊ณ  ์ฐจ์›์ด ์™„๋ฒฝํ•˜๊ฒŒ ๋™์ผํ•˜๋ฉด ๋‘ ๋ฒกํ„ฐ๋Š” ๋™์น˜๋ผ ํ•  ์ˆ˜ ์žˆ๋‹ค.

๋ง์…ˆ,๋บ„์…ˆ: ๊ฐ™์€ ์ฐจ์›ํ–‰๋ ฌ๋ผ๋ฆฌ(๊ตํ™˜,๊ฒฐํ•ฉ,๋ถ„๋ฐฐ๋ฒ•์น™ ์„ฑ๋ฆฝ. ํ•ญ๋“ฑ์›,์—ญ์› ์กด์žฌ)

Vector Space: ์•„๋ž˜ ์„ฑ์งˆ์„ ๋งŒ์กฑํ•˜๋Š” ํ•˜๋‚˜ ์ด์ƒ์˜ ์›์†Œ๊ฐ€ ์กด์žฌํ•˜๋Š” ๋ฒกํ„ฐ ์ง‘ํ•ฉ

e.g. Rโฟ space, zero vector space(์˜๋ฒกํ„ฐ๋งŒ ๊ฐ–๊ณ  ์žˆ๋Š” ๋ฒกํ„ฐ ์ŠคํŽ˜์ด์Šค, ๊ฐ€์žฅ ์ž‘์€ vector space)

โ˜…1) u,vโˆˆV then u+vโˆˆV 2) kvโˆˆV 3) u+0=u๋ฅผ ๋งŒ์กฑ์‹œํ‚ค๋Š” ์œ ์ผํ•œ 0โˆˆV ์กด์žฌํ•ด์•ผ ํ•œ๋‹ค.

4) ๋ชจ๋“  uโˆˆV์— ๋Œ€ํ•ด์„œ u+-u=0์„ ๋งŒ์กฑ์‹œํ‚ค๋Š” โ€“u๊ฐ€ ์กด์žฌํ•ด์•ผ ํ•œ๋‹ค.

5) ๊ตํ™˜,๊ฒฐํ•ฉ,๋ถ„๋ฐฐ ๋ฒ•์น™ ์„ฑ๋ฆฝ + 1u=u

 

Subspace: ์•„๋ž˜ ์„ฑ์งˆ์„ ๋งŒ์กฑํ•˜๋Š” ๋ฒกํ„ฐ ๊ณต๊ฐ„ V์˜ subset SโІV

1) ์˜๋ฒกํ„ฐ ํฌํ•จํ•ด์•ผ ํ•จ(ํ•ญ๋“ฑ์›, ์—ญ์› ์กด์žฌ๋ฅผ ์ฆ๋ช…ํ•˜๊ธฐ ์œ„ํ•ด์„œ) 2) x,yโˆˆS=>x+yโˆˆSใ€€3)xโˆˆS=>kxโˆˆS

์„ ํ˜•์ข…์†: cโ‚–!=0์ธ ๊ฐ’์ด ๏ฝƒโ‚๏ฝ–โ‚๏ผ‹๏ฝƒโ‚‚๏ฝ–โ‚‚๏ผ‹...+๏ฝƒโ‚™๏ฝ–โ‚™=0์„ ๋งŒ์กฑํ•  ๊ฒฝ์šฐ

์„ ํ˜•๋…๋ฆฝ: cโ‚–=0์ธ ๊ฒฝ์šฐ์—๋งŒ ๏ฝƒโ‚๏ฝ–โ‚๏ผ‹๏ฝƒโ‚‚๏ฝ–โ‚‚๏ผ‹...+๏ฝƒโ‚™๏ฝ–โ‚™=0์„ ๋งŒ์กฑํ•  ๊ฒฝ์šฐ

C ํ–‰๋ฒกํ„ฐ, x ์—ด๋ฒกํ„ฐ, Cx=0(๋™์ฐจ์—ฐ๋ฆฝ์ผ์ฐจ๋ฐฉ์ •์‹) ๋น„์ž๋ช… ํ•ด๋ฅผ ๊ฐ€์งˆ ๊ฒฝ์šฐ, ์„ ํ˜•์ข…์†/์ž๋ช…ํ•ด๋งŒ ๊ฐ€์งˆ ๊ฒฝ์šฐ, ๋…๋ฆฝ

 

Span(์ƒ์„ฑ): vector space์— ์žˆ๋Š” ๋ชจ๋“  ๋ฒกํ„ฐ๋ฅผ ์„ ํ˜•๊ฒฐํ•ฉ์œผ๋กœ vector space์— ์žˆ๋Š” ๋ชจ๋“  ๋ฒกํ„ฐ๋ฅผ ํ‘œํ˜„ํ•ด์ค€๋‹ค.

subspace S of a vector space V์ด V์˜ ์ƒ์„ฑ์ง‘ํ•ฉ์ด๋ฉด V=span(S)๋ผ๊ณ  ํ‘œํ˜„ํ•œ๋‹ค.

ํ‰ํ–‰ํ•˜์ง€ ์•Š๋Š” ๋ฌด์ˆ˜ํžˆ ๋งŽ์€ n์ฐจ์› ๋ฒกํ„ฐ๋“ค๋กœ ๋งŒ๋“ค ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ๊ณต๊ฐ„์€ n์ฐจ์›์ด๋‹ค.

Ax=b๊ฐ€ ํ•ด๋ฅผ ๊ฐ€์ง€๊ณ  ์žˆ๋Š”๊ฐ€? <=> A ์—ด๋ฒกํ„ฐ๋“ค์˜ ์ƒ์„ฑ์ง‘ํ•ฉ์— b๊ฐ€ ํฌํ•จ๋˜์–ด ์žˆ๋Š”๊ฐ€?

 

๊ธฐ์ €: ์–ด๋–ค ๋ฒกํ„ฐ ์ŠคํŽ˜์ด์Šค๋ฅผ ๋งŒ๋“ค ๋•Œ ์ตœ์†Œํ•œ ํ•„์š”ํ•œ ๋ฒกํ„ฐ์˜ subspace(์ง‘ํ•ฉ์˜ ๋ฒกํ„ฐ๋“ค์ด ๋‹ค ์„ ํ˜•๋…๋ฆฝ์ด์–ด์•ผ ํ•จ)

ํ•˜๋‚˜์˜ ๊ณต๊ฐ„์— ์—ฌ๋Ÿฌ ๊ฐ€์ง€ ๊ธฐ์ €๊ฐ€ ์กด์žฌํ•  ์ˆ˜ ์žˆ์Œ. +) ํ‘œ์ค€๊ธฐ์ €: ๋‹จ์œ„๋ฒกํ„ฐ๋กœ ์ด๋ฃจ์–ด์ง„ ๊ธฐ์ €

- subset์˜ ๋ฒกํ„ฐ์˜ ๊ฐœ์ˆ˜๊ฐ€ ๊ธฐ์ €์˜ ๊ฐœ์ˆ˜๋ณด๋‹ค ๋” ํฌ๋‹ค => subset ์„ ํ˜•์ข…์†

subset ๋ฒกํ„ฐ๊ฐ€ ์„ ํ˜•๋…๋ฆฝ => subset์˜ ๋ฒกํ„ฐ ์ˆ˜ <= ๊ธฐ์ €์˜ ์ˆ˜

subset ๋ฒกํ„ฐ๊ฐ€ ์„ ํ˜•์ข…์† =/=> ๋ฒกํ„ฐ์˜ ์ˆ˜ >= ๊ธฐ์ €์˜ ์ˆ˜

[v]โ‚š=[cโ‚ cโ‚‚ ... cโ‚™] ordered basis B๋ฅผ ๊ฐ€์ง€๊ณ  v๋ฅผ ์„ ํ˜•๊ฒฐํ•ฉํ–ˆ์„ ๋•Œ ์Šค์นผ๋ผ๊ฐ’ ๋ฒกํ„ฐ, coordinate vector(์ขŒํ‘œ๋ฒกํ„ฐ)

๊ธฐ์ €๋ฅผ ๊ธฐ๋ฐ˜์œผ๋กœ ์ขŒํ‘œ๋ฒกํ„ฐ๋ฅผ ๋ณ€ํ™˜ํ•ด์ค€๋‹ค. U:๊ธฐ์ €1, d:๋ฒกํ„ฐ1, V:๊ธฐ์ €2, c:๋ฒกํ„ฐ(์ขŒํ‘œ)2 d=UโปโฑVc

 

Norm: ๋ฒกํ„ฐ์˜ ์ถ”๊ฐ€์ ์ธ ์—ฐ์‚ฐ 1)||u||>=0 2)||ku||=|k|||u|| 3)||u+v||<=||u||+||v|| 4)u=0์ผ๋•Œ๋งŒ ||u||=0 ๋งŒ์กฑํ•ด์•ผ ํ•จ.

Euclidean norm: ๋ฒกํ„ฐ์˜ ๊ธธ์ด๋ฅผ ๊ตฌํ•˜๋Š” ์—ฐ์‚ฐ์ž ||v||=sqrt(vโ‚์ œ๊ณฑ+vโ‚‚์ œ๊ณฑ+...+vโ‚™์ œ๊ณฑ) e.g. u,v๋ฒกํ„ฐ์˜ ๊ธธ์ด ||u-v||

 

Inner product: input 2๊ฐœ์˜ ๋ฒกํ„ฐ์—์„œ output์œผ๋กœ ์Šค์นผ๋ผ๊ฐ’์ด ๋‚˜์˜ค๋Š” ํ•จ์ˆ˜

1)<u+v,w>=<u,w>+<v,w> 2)<ku,v>=k<u,v> 3)<u,v>=<v,u> 4)๋™์ผํ•œ ๋ฒกํ„ฐ <v,v>>=0 and <v,v>=0=>v=0๋งŒ ๋งŒ์กฑ

-Dot product(vโ‹…w):๊ธธ์ด๊ฐ€ ๋™์ผํ•œ ๋‘ ๋ฒกํ„ฐ vโ‹…u=vโ‚uโ‚+vโ‚‚uโ‚‚+...+vโ‚™uโ‚™ vโ‹…v=(||v||)์ œ๊ณฑ

1. ์ฝ”์‚ฌ์ธ๋ฒ•์น™: v,w๊ฐ€ Rโฟ์— ์žˆ๋Š” ์˜๋ฒกํ„ฐ๊ฐ€ ์•„๋‹Œ ๋ฒกํ„ฐ์ด๋ฉด, (vโ‹…w)/||v||||w||=cosฮธ

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(106p - ์—ฌ๊ธฐ์„œ๋ถ€ํ„ฐ๋Š” ๋‚ด๊ฐ€ ์ง์ ‘ ์“ด๋‹ค!)

'์„ ํ˜•๋Œ€์ˆ˜' ์นดํ…Œ๊ณ ๋ฆฌ์˜ ๋‹ค๋ฅธ ๊ธ€