선형대수] 중간고사 정리

일차방정식의 해

1) consistent 유일해

2) consistent(indeterminate) 부정(여러 개의 해): 자유변수가 존재하는 해 집합을 가지는 경우

-1. 변수의 개수 < 수식의 개수 or 변수의 개수=수식의 개수 한 수식이 전부 0

-2. RREF에서 피벗의 위치가 많이 밀리는 경향을 보임

3) inconsistent 불능: 계수벡터가 다 0이고 상수 벡터가 0이 아닌 행이 존재

 

일차방정식 동치: 1) 해 집합 2) 수식의 개수 3) 변수의 개수가 동일해야 함

동치를 유지하는 연산 1) 행 교환(Interchange) 2) 방정식의 스칼라곱(Scaling) 3)Row addition

기약행 사다리꼴 행렬(RREF(Reduced row echelon form)):output을 정형화시켜서 정의하는 방법

1) 모든 원소가 0인 행들은 0이 아닌 행들의 아래에 있어야 한다.

2) 행의 각 leading entry는 그 위의 행의 선행 entry의 오른쪽 옆에 있다. //REF 조건(0이 아닌 수가 1일 필요X)

3) 각각의 행에서 0이 아닌 처음 나오는 숫자는 1이다

4) 각 leading 1은 그 열의 단 하나뿐인 0이 아닌 숫자여야 한다.

피벗(pivot):RREF에서 각 행의 0이 아닌 처음 나오는 원소로 행 연산을 해도 피벗 위치나 열의 위치는 변하지 않는다.

가우스 조단 소거법: 연립방정식을 행렬로 표현하고 행연산을 통해서 RREF를 만드는 일련의 과정

- REF는 여러개 존재하지만 RREF는 RREF의 3,4번째 조건에 의해서 단 하나만 존재한다.

- 변수보다 수식의 개수가 적은 경우에 유일해는 절대 나올 수 없다(부정, 불능 중 하나)

RREF를 만들면 나올 수 있는 pivot은 최대 수식의 개수이니까 자유변수가 적어도 하나는 존재.

 

행렬(Matrix) - 덧셈, 대입 연산을 통해서 고정된 숫자의 행과 열이 바뀔 수 없다.

정사각행렬 - 수식=변수의 개수->유일해를 가질 수 있는 경우(무조건 X, 가능성 O) -주대각성분 존재

> 항등행렬(Unit matrix): 어떤 숫자나 벡터를 곱해도 같은 숫자, 벡터가 나옴 - 계수행렬이 항등행렬->유일해 가짐

행렬의 동치: 1) 각각의 위치에 있는 원소가 같다. 2) 행렬의 사이즈가 같다. (A=B=>B=A, A=B B=C=>A=C)

행렬의 연산 덧셈: 같은 사이즈만 덧셈 가능. 교환결합법칙이 항상 성립하고 항등원(O)과 역원(-A)이 항상 존재한다.

스칼라 곱셈: 어떤 행렬이든 가능하고 분배법칙과 두행렬의 스칼라 곱에 대한 결합법칙이 성립한다.

행렬 곱셈: A행과 B열을 dot product시킨다. (너가 직접 cij=ai1b1j+.. 적어<-증명할 때 써)

IA=AI=A, 결합법칙(!), 분배법칙이 성립하지만, AB=BA와 AB=O=>A나 B가 O, AB=BC=>B=C를 만족하지는 않는다.

행렬의 결합에 따라서 수행되는 연산 수는 다르다. 행,열의 수가 주어졌을 때 최소 곱셈 연산 수를 구하는 알고리즘

(M[i,j]=0 ㅡ라너라~~~~~)

지수 승: 정사각 행렬만 연산 가능. A⁰=I이고 일반적인 지수의 곱,합이 성립한다.

 

역행렬: 1) 전단사일 경우(일대일 매핑) 2) 동일한 차원(정사각 행렬 + 모든 정사각행렬이 역행렬을 가지는 것은 X)

AB=BA=Iₙ B=A⁻ⁱ A⁻ⁱ=B –역행렬은 유일하다 proof) B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C 모순발생=> 역행렬 유일

(A⁻ⁱ)⁻ⁱ=A, (AB)⁻ⁱ=B⁻ⁱA⁻ⁱ(순서 주의!), (kA)⁻ⁱ=1/kA⁻ⁱ, (A⁻ⁱ)ⁿ=(Aⁿ)⁻ⁱ(n은 정수, 증명 귀납법) <-행렬 사이즈와 관계없이 만족.

전치행렬: 아무 행렬 전치 가능 i,j->j,i i,i동일한 위치 (AB)⁺=B⁺A⁺(순서주의!),(kA)⁺=kA⁺,(A⁺)⁻ⁱ=(A⁻ⁱ)⁺(p)I=I⁺=(AA⁻ⁱ)⁺...)

>　대칭행렬:무조건 정사각 행렬이고 주대각 성분을 기준으로 대칭(A=A⁺) e.g. A+A⁺

> 대각행렬: aij=0 for all i!=j A=diag(a11,a22,...ann)으로 주대각성분만 표시한다.

AB=diag(a11*b11,a22*b22,...,ann*bnn) DA=A행에 D에 해당하는 행의 주대각성분 곱한 행렬,AD=열에 곱함

> 반대칭행렬: 무조건 정사각 행렬이고 주대각 성분은 무조건 0 (A=-A⁺) e.g. A-A⁺

A=1/2(A+A⁺)+1/2(A-A⁺) 정사각 행렬을 대칭과 반대칭행렬로 표현하기

대각합: 정방행렬들의 합 tr(A+B)=tr(A)+tr(B), tr(cA)=c*tr(A), tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)!=tr(ACB)

nXm행렬 A와 mXn행렬 B(정방행렬일 필요X)에 대하여 tr(AB)=tr(BA)

삼각행렬 e.g. 영행렬, 단위행렬 상삼각행렬(위에 값 존재) aij=0 i>j 하삼각행렬(아래에 값 존재) aij=0 i<j

(상/하)삼각행렬*(상/하)삼각행렬=(상/하)삼각행렬

기본행렬: 정사각행렬을 통해 3개의 행연산을 표현해주는 행렬들 e.g.단위행렬에 행연산을 시행해주기

 

A가 가역행렬이다(Eₖ...E₂E₁A=Iₙ)<=>RREF(A)=Iₙ<=>A는 기본행렬들의 곱이다(A=E₁⁻ⁱE₂⁻ⁱ...Eₖ⁻ⁱ)<=>n개의 pivot을 갖는다<=>A⁺는 가역행렬이다<=>CA=I를 만족하는 n차 정방행렬 C가 존재한다.

첨가행렬[A Iₙ]이 행연산으로 [Iₙ B]가 되었다면 B=A⁻ⁱ

동차연립일차방정식: 연립선형일차방정식의 특수 케이스 Ax=0

자명해(x=0): x=0이라는 해는 무조건 참이 된다(역행렬존재)

비자명해(x!=0): 역행렬이 존재하면 비자명 해를 갖지 못한다.

 

LU분해: 아무 행렬(일반적 정방행렬)가능 ,L: 하삼각행렬, U: 상삼각행렬, 연립선형일차방정식 Ax=b를 Ly=b -> Ux=y로 분해해서 해결한다. 행교환을 통해 RREF가 되는 행렬을 제외하고 사용가능하다. (A=LU원소 적기)

행교환 없이 RREF 만드는 법: Permutation matrix(PA, 단위행렬에 행을 바꾼 행렬)를 곱해준다. -> LU분해 가능

(블록행렬 역행렬 공식1) (블록행렬 역행렬 공식2)

 

벡터: 수나 심볼로 표현된 1차원 행렬, 구성요소가 같고 차원이 완벽하게 동일하면 두 벡터는 동치라 할 수 있다.

덧셈,뺄셈: 같은 차원행렬끼리(교환,결합,분배법칙 성립. 항등원,역원 존재)

Vector Space: 아래 성질을 만족하는 하나 이상의 원소가 존재하는 벡터 집합

e.g. Rⁿ space, zero vector space(영벡터만 갖고 있는 벡터 스페이스, 가장 작은 vector space)

★1) u,v∈V then u+v∈V 2) kv∈V 3) u+0=u를 만족시키는 유일한 0∈V 존재해야 한다.

4) 모든 u∈V에 대해서 u+-u=0을 만족시키는 –u가 존재해야 한다.

5) 교환,결합,분배 법칙 성립 + 1u=u

 

Subspace: 아래 성질을 만족하는 벡터 공간 V의 subset S⊆V

1) 영벡터 포함해야 함(항등원, 역원 존재를 증명하기 위해서) 2) x,y∈S=>x+y∈S　3)x∈S=>kx∈S

선형종속: cₖ!=0인 값이 ｃ₁ｖ₁＋ｃ₂ｖ₂＋...+ｃₙｖₙ=0을 만족할 경우

선형독립: cₖ=0인 경우에만 ｃ₁ｖ₁＋ｃ₂ｖ₂＋...+ｃₙｖₙ=0을 만족할 경우

C 행벡터, x 열벡터, Cx=0(동차연립일차방정식) 비자명 해를 가질 경우, 선형종속/자명해만 가질 경우, 독립

 

Span(생성): vector space에 있는 모든 벡터를 선형결합으로 vector space에 있는 모든 벡터를 표현해준다.

subspace S of a vector space V이 V의 생성집합이면 V=span(S)라고 표현한다.

평행하지 않는 무수히 많은 n차원 벡터들로 만들 수 있는 공간은 n차원이다.

Ax=b가 해를 가지고 있는가? <=> A 열벡터들의 생성집합에 b가 포함되어 있는가?

 

기저: 어떤 벡터 스페이스를 만들 때 최소한 필요한 벡터의 subspace(집합의 벡터들이 다 선형독립이어야 함)

하나의 공간에 여러 가지 기저가 존재할 수 있음. +) 표준기저: 단위벡터로 이루어진 기저

- subset의 벡터의 개수가 기저의 개수보다 더 크다 => subset 선형종속

subset 벡터가 선형독립 => subset의 벡터 수 <= 기저의 수

subset 벡터가 선형종속 =/=> 벡터의 수 >= 기저의 수

[v]ₚ=[c₁ c₂ ... cₙ] ordered basis B를 가지고 v를 선형결합했을 때 스칼라값 벡터, coordinate vector(좌표벡터)

기저를 기반으로 좌표벡터를 변환해준다. U:기저1, d:벡터1, V:기저2, c:벡터(좌표)2 d=U⁻ⁱVc

 

Norm: 벡터의 추가적인 연산 1)||u||>=0 2)||ku||=|k|||u|| 3)||u+v||<=||u||+||v|| 4)u=0일때만 ||u||=0 만족해야 함.

Euclidean norm: 벡터의 길이를 구하는 연산자 ||v||=sqrt(v₁제곱+v₂제곱+...+vₙ제곱) e.g. u,v벡터의 길이 ||u-v||

 

Inner product: input 2개의 벡터에서 output으로 스칼라값이 나오는 함수

1)<u+v,w>=<u,w>+<v,w> 2)<ku,v>=k<u,v> 3)<u,v>=<v,u> 4)동일한 벡터 <v,v>>=0 and <v,v>=0=>v=0만 만족

-Dot product(v⋅w):길이가 동일한 두 벡터 v⋅u=v₁u₁+v₂u₂+...+vₙuₙ v⋅v=(||v||)제곱

1. 코사인법칙: v,w가 Rⁿ에 있는 영벡터가 아닌 벡터이면, (v⋅w)/||v||||w||=cosθ

2. 코시 슈바르츠 부등식: |v⋅w|<=||v||||w|| 3.벡터의 삼각부등식: ||v+w||<=||v||+||w||

p1)||w-v||2=||v||2+||w||2-2||v||||w||cosθ p2)1번 사용 p3)||v+w||2=(v+w)⋅(v+w) 2번 사용

직교할 때(90,270,...) x⋅y=0, 정사영 projyx=(x⋅y)/(y⋅y)y y벡터에 x벡터를 정사영시킴. p)uㅗx-ku

외적(xXy):3차원 벡터에만 성립. xXy=(x2y3-x3y2, x3y1-x1y3, x1y2-x2y1) -교환성립X xXy=-yXx, 분배 성립,xXx=0

삼중적:x,y,z가 3차원 공간에 있으면 x⋅(yXz) <-이 절댓값은 평행육면체의 부피

d벡터와 평행하고 q벡터를 지나가는 방정식 p=a+td, w평면에 수직이고 a벡터를 지나가는 방정식 w⋅(p-a)=0

AB벡터를 m:n OX=(n/m+n)OA+(m/m+n)OB벡터 p)AX=(m/n)XB, p에서부터 w평면까지의 거리 d=|(p-a)⋅w|/||w||

(106p - 여기서부터는 내가 직접 쓴다!)