선형대수] 기말고사 정리

||A||(Nom)이 음수가 불가능한 것에 비해, 행렬 식은 음수가 가능하다.

만약 A가 가역행렬이면 det(A)≠0이고 비가역행렬이면 det(A)=0이다.

여인수 전개(cofactor expansion) Cij=(-1)^(i+j)Aij 로 라플라스 전개의 소행렬식에 인덱스까지 곱한 것을 가리킨다.

c*det(A)=det(A’) (A’은 A의 특정 행이나 열에 c를 곱한 행렬)

정방행렬 A에 스칼라 배한 행렬식 kA에 대해서 det(kA)=kⁿdet(A)를 만족한다.

det(B)=det(A1)+det(A2) (B는 하나의 다른 행(열)만 가진 행렬들의 덧셈에 의해서 생긴 행렬)

det(A’)=-det(A) (A’: 두 개의 행(열)을 교환한 행렬)

proof] 근접한 행끼리 교환한 행렬 A,A’에 대해 라플라스 전개해보자.

|A|=ai1*(-1)^(i+1)*Mi1+…+ain*(-1)^(i+n)*Min

|A’|=ai1(-1)^(i+1+1)M’(i+1)1+…ain*(-1)(i+1+n)*M’(i+1)n

Mik=M’(i+1)k 따라서 (-1)의 지수 승만 달라짐. |A’|=-(ai1*(-1)^(i+1)Mi1+…+ain*(-1)^(i+n)*Min) 따라서 |A|=-|A’|

이러한 증명을 일반화해보자. i→j 하는데 (j-1)번, j→i 하는데 (j-i)-1번, 총 2(j-i)-1번 교환했다. 즉 가능한 근접 행 연산은 홀수 번 교환되므로 -를 곱해야 한다. 따라서 |A|=-|A’|

5. 한 행렬에서 i 행(열)과 j 행(열)이 완벽하게 동일하면 행렬 식은 무조건 0

6. det(A)=det(A’) (A’: 하나의 행(열)을 다른 행(열)에 더한 행렬) 7. det(A)=det(A.T)

A의 첫 번째 행에 대한 라플라스 전개, |A|=a11(-1)^(1+1)M11+…+a1n(-1)^(1+n)M1n

A.T의 첫 번째 열에 대한 라플라스 전개, |transpose(A)|=a11(-1)^(1+1)M’11+…+a1n(-1)^(n+1)M’n1 (M’11=transposeM11,…,M’**n1**=transposeM**1n**)

수학적 귀납법

n-1일 때 det(A)=det(transpose(A)) 가정

n일 때 M’n1=M.T1n인데 위 n-1일 때 가정을 통해서 M.T1n=M1n이므로 A와 A.T의 라플라스 전개가 항등식이 되어서 |A|=|A.T|라고 일반화시킬 수 있다.

8. det(I)=1 9. 행 교환 연산 det(E1)=-1, 하나의 행에 스칼라 값을 곱하는 scaling det(E2)=k, 마지막 성질 det(E3)=1

10. det(EA)=det(E)det(A) E는 기본 행렬 11. 모든 행(열)이 0인 정방행렬 A의 행렬 식=0

12. 두 행렬 A,B에 대해서 det(AB)=det(A)det(B) AB=C

1. C=noninvertable (|C|=0) |A|≠0이고 |B|≠0이라는 의미는 A,B가 가역 행렬이고 따라서 A,B를 Ek…E1까지 기본 행렬들의 곱으로만 나타낼 수 있음을 의미한다. 그런데 기본 행렬들의 행렬식은 앞에서 본대로 0이 되는 경우는 존재하지 않는다. 따라서 A와 B가 가역 행렬인 경우에 C가 비가역 행렬일 수는 없다. 그러므로 C가 비가역 행렬이면 A나 B가 비가역 행렬이어야 한다.

2. C=invertable (|C|=0)

C=E’’k…E’’1=(En…E1)(E’k…E’1)=AB 위 10번째 성질에 의해서 det(C)=det(A)det(B)임을 증명할 수 있다.

13. 가역행렬의 행렬 식은 0이 아니다. 14. |삼각행렬|=주대각성분의 곱 15. |대각행렬(diagonal matrix)|=주대각성분들의 곱 17. det(A⁻¹)=1/det(A)

//블록행렬의 행렬식

 

 

수반행렬(Adjoint matrix, adj A): 각각의 원소에 해당하는 여인수를 transpose한 행렬

A*adjA=|A|I A⁻¹=(1/|A|)*adjA |adjA|=|A|ⁿ⁻¹ adj(AB)=(adj B)(adj A) (A,B는 가역행렬)

크래머공식:A가 가역 행렬 Ax=b, 각각의 해 xᵢ=|Mᵢ|/|A|(Mᵢ는 A의 i번째 열을 b로 바꾼 행렬)

직교집합(Orthogonal set):벡터 집합의 모든 원소 벡터들이 직교 ↔ 각각의 벡터들의 내적이 0

직교집합의 모든 벡터들이 영 벡터가 아니면, 벡터들은 선형독립,선형독립≠직교집합, 직교집합이 제약 조건이 더 많음

➕ 선형 독립(linear independet) ↔ c1v1+c2v2+…+cnvn=0을 ci=0일 때만 만족↔역행렬존재↔n차원 공간 생성 가능

↔ v(벡터에 대한 행 벡터)*c(열 벡터)=0, v가 가우스 소거법으로 인해 RREF가 나옴↔ 자명해만을 가짐

직교 기저 B로 벡터 v표현하는 방법, 한 가지 v=c1b1+…+cnbn, ci=(v⋅bi)/(bi⋅bi)

정규직교기저 B로 벡터 v 표현하는 방법, v=c1u1+…+cnun, ||v||²=c1²+c2²+…+cn², v⋅w=c1d1+…+cndn

직교행렬(Orthogonal matrix) : 정방행렬의 열 벡터가 Rⁿ의 정규직교기저인 행렬

UtU=I, UUt=I, Ut=U⁻¹, Ux⋅Uy=x⋅y, ||Ux||=||x||, UV는 직교행렬

||z||=(|z1|²+|z2|²+…+|zn|²)½=(zHz)½ (**zH**=z bar=[z1 bar z2 bar … zn bar]t)

 

복소수 벡터 w,z에 대하여 w⋅z=zH⋅w를 만족 💡 실수 벡터의 내적과 달리 교환 법칙 만족 XX

Gram-Schmidt process - 직교기저 찾아주기

선형독립 기저 {x1, x2, …, xn}, 직교기저 집합 {v1, v2, …, vn}, 정규직교기저 집합 {u1, u2, …, un} =>v1=x1, v2=x2-(x2⋅v1)/(v1⋅v1)v1 +) x2를 v1으로 정사영한 부분 빼기, v3=x3-(x3⋅v1)/(v1⋅v1)v1-(x3⋅v2)/(v2⋅v2)v2

QR분해:열 벡터가 선형독립인 기저 A를 정규직교 기저 Q와 상삼각행렬 R로 분해한다 Q={v1, v2, v3}일 때, R=QtA

`선형성(linearlity)` 이란?

1. 동차성: 실수에 속하는 모든 c에 대하여, 정의역 V의 원소 u가 **L(cu)=cL(u)**를 만족

2. 가산성: 정의역 V의 원소 u,v가 **L(u)+L(v)=L(u+v)**를 만족

행렬과 벡터의 곱은 선형변환이다.

1. 확대와 축소(dilation and contraction) x/y축 방향으로 확대/축소

[[x2],[y2]] = [[α 0], [0 β]][[x1],[y1]] → x2=αx1, y2=βy1

2. 회전(rotation) 원점을 중심으로 θ만큼 회전

[[x2],[y2]]=[[cosθ -sinθ],[sinθ cosθ]][[x1],[y1]] → x2=x1cosθ-y1sinθ, y2=x1sinθ+y1cosθ

3. 반사(reflection) 회전의 특수 케이스 x축을 기준으로 반사 [[x2],[y2]]=[[1 0],[0 -1]][[x1],[y1]] → x2=x1, y2=-y1

y축을 기준으로 반산 [[x2],[y2]]=**[[-1 0],[0 1]]**[[x1],[y1]] → x2=-x1, y2=y1

4. 층밀림(shear)

y 방향 기준으로 층밀림 - x축 방향으로 y의 k배 층밀림 [[x2],[y2]]=**[[1 k],[0 1]]**[[x1],[y1]] → x2=x1+ky1, y2=y1

x 방향 기준으로 층밀림 - y축 방향으로 x의 k배 층밀림 [[x2],[y2]]=**[[1 0],[k 1]]**[[x1],[y1]] → x2=x1, y2=kx1+y1

5. 이동변환(translation) 💡 이동변환은 행렬의 곱으로 나타낼 수 없기 때문에 선형변환이 아니다

[[x2],[y2]]=**[[1 0],[0 1]]**[[x1],[y1]] **+ [[a],[b]]** → x2=x1+a, y2=y1+b

`동차좌표(homogeneous coordinates)` 위에서 나온 x2=x1+a, y2=y1+b ⇒ [[1 0 **a**], [0 1 **b**], [0 0 1]]

`선형 연산자(Linear operator)` - 선형변환 중 특별한 변환

L:V→W인 선형변환이 있다고 가정

- 선형 연산자(Linear operator) : V와 W가 같은 벡터 공간일 때

-노름 보존 선형 연산자(Norm-preserving linear operator)ex. 회전변환, 반사변환(O) 확대, 축소, 층밀림(X)

L: Rn→Rn인 선형변환이 있다고 가정할 때, 다음의 수식을 만족해야 함(두 수식은 동치)

1. Rn 평면의 모든 x에 대하여, ||L(x)||=||x|| 2. Rn 평면의 모든 x,y에 대하여, L(x)⋅L(y)=x⋅y

직교 연산자 ⇒ 노름 보존 선형 연산자 proof] L(x)⋅L(y)=Ax⋅Ay=xtAtAy(AtA=I돼야 함)=xt⋅y=x⋅y

- 직교 연산자(Orthogonal operator) : 모든 V의 원소 x,y에 대하여 L(x)⋅L(y)=x⋅y일 때

부분 공간(subspaces)

- 정의역의 부분 공간

-Null space(영 공간, 핵 -kernel), Null(A), Ker(A)

공역의 영 벡터에 mapping되는 벡터 집합 ↔ **Null(A)={x|x∈Rn, Ax=0} →모든 영 벡터가 영 공간에 포함됨

- 퇴화차수 nullity(A)=dim(Null(A)) ↔ RREF에서 pivot을 갖지 못한 열이 몇 개가 있는지 ↔ REF에 몇 개의 자유 변수가 있는지**

- 차원 정리(dimension theorem) dim(Col(A))+dim(Null(A))=rank(A)+nullity(A)=n

- Row space(행 공간), Row(A)

A의 행 벡터의 선형 조합에 의한 집합 → A의 RREF의 영이 아닌 행들을 기저로 가짐

- dim(Row(A))=dim(Col(A))

- 공역의 부분 공간

- Column space**(열 공간, 상공간, 치역)Col(A)

**열 벡터들의 선형조합에 의한 집합**이고 열공간은 공역의 부분공간임

-계수, 랭크 rank(A)=dim(Col(A)) ↔ RREF에서 몇 개의 pivot이 있는지 ↔ 선형독립인 열 벡터가 몇 개인지

- Left null space(좌영공간) Null(At) At의 영 공간

1. Aⁿx=λⁿx (n은 양의 정수) 2. A⁻¹=1/λ 3. det(A)=λ1λ2…λn 4. tr(A)=λ1+λ2+…+λn 5. A+cIn=λ+c 6. A와 At는 같은 고윳값을 가짐

λ 고윳값은 특성 방정식, det(λI-A)=0을 만족해야 함

고유 벡터 x(≠0)에 대하여, **(λI-A)x=0**을 만족해야 함 ↔ (λI-A)는 n차 정방행렬이므로 동차연립일차방정식꼴 → x구하기 위해서 null space 찾아야 함 → RREF //케일리-해밀턴 정리